Teoria de W-operadores - Reticulados e Operadores entre reticulados

\[ \newcommand{\L}[0]{\mathcal{L}} \newcommand{\P}[0]{\mathcal{P}} \]
A revisão de teoria continua, desta vez com aspectos fundamentais do treinamento de \(W-\)operadores. Neste documento irei apresentar algumas definições importantes de reticulados e operadores entre reticulados.

Conjuntos parcialmente ordenados e Reticulados completos

Seja \(\mathcal{L}\) um conjunto e \(\leq\) uma relação binária entre elementos de \(\mathcal{L}\). Se a relação \(\leq\) for:

1. reflexiva (\(x\leq x \forall x \in \mathcal{L}\));
2. anti-simétrica (\(x \leq y\) e \(y \leq x\) implica \(x = y\));
3. transitiva (\(x \leq y\) e \(y \leq z\) implica \(x \leq x\)),

então \((\mathcal{L}, \leq)\) é chamado de conjunto parcialmente ordenado ou poset (de partially ordered set). A relação \(\leq\) é chamada de relação de ordem parcial (pois não requer que todos elementos estejam relacionados).
Sejam \(L, U \in \mathcal{L}\) e \(\Xi \subseteq \mathcal{L}\), então \(L\) e \(U\) são chamados de limite superior e limite inferior de \(\Xi\) se \(X \leq U \forall X \in \Xi\) e \(L \leq X, \forall X \in \Xi\), respectivamente. O menor limitante superior de \(\Xi\), se ele existir, é chamado de supremo. Da mesma maneira, o maior limitante inferior de \(\Xi\) é chamado de ínfimo. Tanto o ínfimo quanto o supremo são únicos, se existirem. O ínfimo e o supremo entre dois elementos \(X\) e \(Y\) são denotados \(X \wedge Y\) e \(X \vee Y\).
Um subconjunto \(\Xi \subseteq \mathcal{L}\) é um intervalo se e somente se existem dois elementos \(A,B \in \mathcal{L}\) tal que
\[ A \leq X \leq B \Leftrightarrow X \in \Xi, \forall X \in \mathcal{L}.\]
Intervalos são denotados por \([A,B]\), sendo que \(A\) é a extremidade esquerda e \(B\) a extremidade direita do intervalo. O conjunto de intervalors \(\{[A,B] : A,B \in \L, A \leq B\}\) junto com a operação \(\preccurlyeq\) é um reticulado completo.
\[ [A,B] \preccurlyeq [A',B'] \Leftrightarrow A \leq A' \textrm{ e } B \leq B' \]
O conjunto \(Max(\{[A,B]\})\) contém todos os intervalos maximais.
Um poset \(\mathcal{L}\) é um reticulado completo se todo subconjunto de \(\L\) possui um ínfimo e um supremo. Reticulados completos sempre possuem um máximo \(I\) e um mínimo \(O\). Quando todos os elementos de um reticulado completo são comparáveis ele é chamado de cadeia.

Operadores entre reticulados

Dados reticulados \(\L_1\) e \(\L_2\), o conjunto \(Fun[\L_1,\L_2]\) contém todas as funções de \(\L_1\) a \(\L_2\). Elementos deste conjunto são chamados de operadores ou mapeamentos. Elementos de \(\L_1\) serão denotados \(A, B\) e \(X\) e elementos de \(\L_2\) serão denotados \(V\) e \(Y\). Operadores serão denotados por letras gregas minúsculas \(\alpha, \beta, \dots\).
Defina \(\lambda_{A,B}\) um operador (chamado de sup-gerador) de \(\L_1\) para \(\{0, 1\}\) da seguinte maneira:
\[ \lambda_{A,B}(X) = \begin{cases} 1 \textrm{, if } X \in [A,B] \\ 0 \textrm{, otherwise } \end{cases} \]
O kernel \(K_\psi \in Fun[L_2, \P(L_1)]\) de um operador \(\psi \in Fun[\L_1, \L_2]\) é dado por
\[ K_\psi(Y) = \{X \in \L_1 : Y \leq \psi(X) \}. \]
Essencialmente, \(K_\psi\) contém, para cada elemento \(Y\) todos os elementos de \(L_1\) que são maiores ou iguais a \(Y\) após a aplicação de \(\psi\).

Teorema (Decomposição Canônica):

Todo operador \(\psi \in Fun[\L_1, \L_2]\) pode ser decomposto em função de operadores sup-geradores:
\[ \psi(X) = \vee \{ Y \in \L_2 : \vee\{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in K_\psi(Y) \} = 1\}, \forall X \in \L_1 \]

A representação de um operador utilizando a decomposição acima é redundante, pois se \(X \in [A,B]\) e \(X \in [A',B']\) tal que \(A\leq A'\) e \(B\leq B'\) então o intervalo \([A,B]\) é redundante. Desta forma, definimos
\[ \textbf{B}_\psi(Y) = Max(K_\psi(Y)) = \{[A,B] : \nexists [A',B'] \textrm { s.t. } [A,B] \preccurlyeq [A', B']\} \]
e o teorema acima se torna

\[ \psi(X) = \vee \{ Y \in \L_2 : \vee\{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in \textbf{B}_\psi(Y) \} = 1\}, \forall X \in \L_1 \]

e a representação de \(\psi\) em termos de \(\textbf{B}_\psi\) é chamada de decomposição por um conjunto de operadores sup-geradores.

Caso específico: Operadores entre reticulados e cadeias

Suponha que \(\L_2 = M = [0, m]\). Então o conjunto \(K = \{K_\psi(y) : y \in M\}\) também é uma cadeia em \((\P(\L_1), \subseteq)\) para todo \(\psi \in Fun[\L_1, M]\). Logo, o teorema da decomposição canônica se torna:
\[ \psi(X) = \sum_{y=1}^m \vee \{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in \textbf{B}_\psi(y)\} \]
Se \(m=1\), o teorema se torna:
\[ \psi(X) = \vee \{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in \textbf{B}_\psi(1)\} \]

Caso específico II: Imagens

Este outro texto explica o caso específico que interpreta imagens como reticulados e contextualiza a decomposição canônica como uma composição de operações de imagens.

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