Teoria de W-operadores - Reticulados e Operadores entre reticulados

$$\newcommand{\L}[0]{\mathcal{L}} \newcommand{\P}[0]{\mathcal{P}}$$
A revisão de teoria continua, desta vez com aspectos fundamentais do treinamento de $W-$operadores. Neste documento irei apresentar algumas definições importantes de reticulados e operadores entre reticulados.

Conjuntos parcialmente ordenados e Reticulados completos

Seja $\mathcal{L}$ um conjunto e $\leq$ uma relação binária entre elementos de $\mathcal{L}$. Se a relação $\leq$ for:

1. reflexiva ($x\leq x \forall x \in \mathcal{L}$);
2. anti-simétrica ($x \leq y$ e $y \leq x$ implica $x = y$);
3. transitiva ($x \leq y$ e $y \leq z$ implica $x \leq x$),

então $(\mathcal{L}, \leq)$ é chamado de conjunto parcialmente ordenado ou poset (de partially ordered set). A relação $\leq$ é chamada de relação de ordem parcial (pois não requer que todos elementos estejam relacionados).
Sejam $L, U \in \mathcal{L}$ e $\Xi \subseteq \mathcal{L}$, então $L$ e $U$ são chamados de limite superior e limite inferior de $\Xi$ se $X \leq U \forall X \in \Xi$ e $L \leq X, \forall X \in \Xi$, respectivamente. O menor limitante superior de $\Xi$, se ele existir, é chamado de supremo. Da mesma maneira, o maior limitante inferior de $\Xi$ é chamado de ínfimo. Tanto o ínfimo quanto o supremo são únicos, se existirem. O ínfimo e o supremo entre dois elementos $X$ e $Y$ são denotados $X \wedge Y$ e $X \vee Y$.
Um subconjunto $\Xi \subseteq \mathcal{L}$ é um intervalo se e somente se existem dois elementos $A,B \in \mathcal{L}$ tal que
$$A \leq X \leq B \Leftrightarrow X \in \Xi, \forall X \in \mathcal{L}.$$
Intervalos são denotados por $[A,B]$, sendo que $A$ é a extremidade esquerda e $B$ a extremidade direita do intervalo. O conjunto de intervalors $\{[A,B] : A,B \in \L, A \leq B\}$ junto com a operação $\preccurlyeq$ é um reticulado completo.
$$[A,B] \preccurlyeq [A',B'] \Leftrightarrow A \leq A' \textrm{ e } B \leq B'$$
O conjunto $Max(\{[A,B]\})$ contém todos os intervalos maximais.
Um poset $\mathcal{L}$ é um reticulado completo se todo subconjunto de $\L$ possui um ínfimo e um supremo. Reticulados completos sempre possuem um máximo $I$ e um mínimo $O$. Quando todos os elementos de um reticulado completo são comparáveis ele é chamado de cadeia.

Operadores entre reticulados

Dados reticulados $\L_1$ e $\L_2$, o conjunto $Fun[\L_1,\L_2]$ contém todas as funções de $\L_1$ a $\L_2$. Elementos deste conjunto são chamados de operadores ou mapeamentos. Elementos de $\L_1$ serão denotados $A, B$ e $X$ e elementos de $\L_2$ serão denotados $V$ e $Y$. Operadores serão denotados por letras gregas minúsculas $\alpha, \beta, \dots$.
Defina $\lambda_{A,B}$ um operador (chamado de sup-gerador) de $\L_1$ para $\{0, 1\}$ da seguinte maneira:
$$\lambda_{A,B}(X) = \begin{cases} 1 \textrm{, if } X \in [A,B] \\ 0 \textrm{, otherwise } \end{cases}$$
O kernel $K_\psi \in Fun[L_2, \P(L_1)]$ de um operador $\psi \in Fun[\L_1, \L_2]$ é dado por
$$K_\psi(Y) = \{X \in \L_1 : Y \leq \psi(X) \}.$$
Essencialmente, $K_\psi$ contém, para cada elemento $Y$ todos os elementos de $L_1$ que são maiores ou iguais a $Y$ após a aplicação de $\psi$.

Teorema (Decomposição Canônica):

Todo operador $\psi \in Fun[\L_1, \L_2]$ pode ser decomposto em função de operadores sup-geradores:
$$\psi(X) = \vee \{ Y \in \L_2 : \vee\{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in K_\psi(Y) \} = 1\}, \forall X \in \L_1$$

A representação de um operador utilizando a decomposição acima é redundante, pois se $X \in [A,B]$ e $X \in [A',B']$ tal que $A\leq A'$ e $B\leq B'$ então o intervalo $[A,B]$ é redundante. Desta forma, definimos
$$\textbf{B}_\psi(Y) = Max(K_\psi(Y)) = \{[A,B] : \nexists [A',B'] \textrm { s.t. } [A,B] \preccurlyeq [A', B']\}$$
e o teorema acima se torna

$$\psi(X) = \vee \{ Y \in \L_2 : \vee\{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in \textbf{B}_\psi(Y) \} = 1\}, \forall X \in \L_1$$

e a representação de $\psi$ em termos de $\textbf{B}_\psi$ é chamada de decomposição por um conjunto de operadores sup-geradores.

Caso específico: Operadores entre reticulados e cadeias

Suponha que $\L_2 = M = [0, m]$. Então o conjunto $K = \{K_\psi(y) : y \in M\}$ também é uma cadeia em $(\P(\L_1), \subseteq)$ para todo $\psi \in Fun[\L_1, M]$. Logo, o teorema da decomposição canônica se torna:
$$\psi(X) = \sum_{y=1}^m \vee \{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in \textbf{B}_\psi(y)\}$$
Se $m=1$, o teorema se torna:
$$\psi(X) = \vee \{\lambda_{A,B}(X) : [A,B] \in \textbf{B}_\psi(1)\}$$

Caso específico II: Imagens

Este outro texto explica o caso específico que interpreta imagens como reticulados e contextualiza a decomposição canônica como uma composição de operações de imagens.

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